ADMITERE INSTITUTUL POLITEHNIC Braşov, Facultatea de Mecanică, Secţia AR, Vară 1966

(din Gazeta Matematică, seria B, anul 1967, numărul 3)

1. Patru numere pozitive formează o progresie aritmetică. Produsul primului termen cu al patrulea ese egal cu rădăcina ecuaţiei:

   2^(x-1)+2^x+3=2⁹    Obs.Sava. Nu cumva:  2^(x-1)+2^x=3.2⁹ ?

   iar suma pătratelor termenilor al doilea şi al treilea este de 5 ori mai mare decât numărul care reprezintă rangul termenului independent de x al dezvoltării binomului:

   (x^-1/4+x^1/6)²⁰

   Să se afle aceste numere.

---

2. Să se demonstreze identitatea:

   sin²(45°+x)-sin²(30°-x)-sin²15°cos(15°+2x)=sin2x

---

Problema este greşită. Aşa a fost distribuită în săli şi, apoi, a fost publicată şi în GM. Nu trebuie pătrat la al treilea sinus. Am sesizat acest lucru supraveghetorului de sală (un asistent de fizică, aveam să aflu mai târziu), a verificat şi el şi mi-a zis că se pare că am dreptate, dar nu poate să-mi dea un răspuns oficial. Atunci am tăiat 2-ul, am rezolvat-o aşa, şi am mers mai departe. A venit apoi blonda doamnă Branch şi a şters 2-ul de pe tablă şi i-a spus, pe şoptite, asistentului că, dacă sunt probleme, să ne mai lase o jumătate de oră. Eu eram deja gata şi am dus teza la catedră. M-a întâmpinat cu un "De unde ai ştiut subiectele ?", dar a intervenit asistentul şi i-a spus că în sală eu ridicasem deja problema. La a doua întrebare a doamnei Branch, "Unde ai făcut liceul ?", am răspuns "la Beceni", nici măcar raionul nu l-am precizat, ca şi când ar fi fost vorba de Moscova sau New-York. Prin anul 4, când am povestit chestia asta, la o oră de practică, Lili Nistor şi-a amintit că se împotmolise la acest subiect. După prima mea intervenţie, când a văzut că ceva este în neregulă, l-a abandonat şi a trecut mai departe, că să nu piardă timp.

---

3. Să se determine numărul termenilor unei progresii aritmetice descrescătoare, dacă:
   
   
   1. raţia satisface ecuaţia:

      (9^x3-x-2/3)^1/3=27    Obs.Sava. Nu cumva:  (9^x3-x-3/2)^1/3=27 ?

   2. primul termen satisface ecuaţia:

      log2+log(y+1)=log(5y+7)-log3

   3. suma progresiei este cu 9 mai mică decât exponentul p al binomului:

      ((b²)^1/3+b^-1/2)^p    Obs.Sava. Nu cumva:  ((b^1/2)^1/3+b^-1/2)^p ?

      în a cărui dezvoltare termenul al patrulea conţine b la puterea întâia.

---

4. În ce fel de triunghi ABC are loc relaţia:

   sinC/sinB+sinB/cosC=2sinA ?

---

5. Se dau funcţiile:

   f(x)=ln(10x-x²-21)

   şi

   g(x)=(-9x+63)^1/2

   1. Să se stabilească domeniul maxim de definiţie al funcţiei:

      h(x)=f(x)+g(x)

   2. Să se calculeze derivata funcţiei:

      h(x)

   3. Să se calculeze:

      ∫g(x)dx

---

6. Să se rezolve sistemul:

   (2^x)^1/10.(2^y)^1/10=(2⁷)^1/x

   lg(x+y)=lg40-lg(x-y)

---

7. Să se determine soluţiile ecuaţiei:

   (1-tgx)(1+sin2x)=1+tgx

---

8. Să se calculeze punctele de extrem ale funcţiei:

   f(x)=(3x²-1)/(3x³)+ln(1+x²)^1/2+arctgx

   Obs.Sava. Nu cumva:  f(x)=(3x²-1)/(3x³)+ln(1+x²)^1/2+arcctgx ?

---

Redactare: ing.Stan Sava,   0744/884449,
bzsoft@savastan.ro,   www.savastan.ro